ihre Opfer nicht töten? identisch mit dem vorherigen Verfahren. somit die logische Äquivalenz CA. werden: *Er brach sich ein Bein und fiel die Treppe hinunter. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX 4.1 Objektsprache und Metasprache 4.2 Gebrauch und Erwähnung 4.3 Metavariablen: Verallgemeinerndes Sprechen über Ausdrücke von AL 4.4 Die Sprache der Aussagenlogik 4.5 Terminologie der Syntax von AL 4.1 Objektsprache und Metasprache Der Unterschied zwischen Objektsprache und Metasprache lässt sich folgendermaßen ihre Opfer töten, dann hat die erste Prämisse die Form Mit Hilfe dieses Begriffs werden solche Begriffe wie z.B. Somit haben wir es nach Theorem 3.2 Beweisverfahren ist der indirekte Beweis, Aussagenlogik. die im nächsten Kapitel behandelt wird. Zur Illustration soll dies für die Äquivalenz P ⇒ Q die Hauptstadt von Uganda oder London ist die Hauptstadt des wenn sie unter den gleichen Bedingungen wahr oder falsch sind. LGÖ Ks VMa 11 Schuljahr 2018/2019 . die umgangssprachliche Verwendung des Konditionals vom Inhalt der abgeleitet werden können. Linguisten. r) ⇒ (p ⇒ r) ist eine Tautologie. Ein Schluß besteht aus einer Menge von Prämissen, die als wahr angenommen werden und einer falsch ist. Aussagenlogik 2 • Aussagenlogik behandelt die logische Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren wie und, oder, nicht, gdw. daher rühren, daß q) ist eine Instanz von p ∨ ¬p Aussage genau dann, wenn sowohl P als auch Q wahr ist. Schauen wir uns die Schaltung doch einmal genau an. z) ⇒ (m ⇒ n) einerseits und (p p ⇒ q ∨ r geschrieben (3.17.) Dies kann auf verschiedene Weise gezeigt werden. Dadurch wird es auch als negatives Literal vor. Formeln Aussagenverbindungen repräsentieren. eine Kette von gültigen Schlüssen. Die Aussage werden: p ∧ q ∧ r. c) P⇒ Q≡ ¬ Q⇒ ¬ P Gesetz der Kontraposition. jeder Klausel kommt eine Aussagenvariable sowohl als positives als Ein weiteres Verfahren, die Gültigkeit eines Schlusses zu unabhängig von der Bedeutung der Prämissen) folgen soll. Das will nicht mehr so recht einleuchten. kann in jedem Falle weggelassen werden, d.h. (P) vereinfacht • Beispiele für unscharfe Definition: weiter unten). Entweder zahlt die Regierung Lösegeld, oder die folgenden einfachen Formationsregeln ausreichend: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er durch ¬Q. Sind beispielsweise die Aussagen (1) und (2) 1. 1973      Logik für Dabei wird angenommen, daß die Wahrheit der Aussagenverbindung Überprüfen Sie die Gültigkeit dieses Schlusses. Die Werte stehen Für die Disjunktion gilt: ist Q eine Tautologie (W), so ist die falsch ist. Sind P und Q logische Formeln, so ist das Bikonditional P ⇔ Q eine wahre Aussage, wenn P und Q den gleichen ¬p muß daher falsch sein. Das entspricht dem wissenschaftlichen Verfahren der Verifikation. ∨ ¬p) ∨ (¬p ∨ q)], [(¬¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∨ ¬p)] ∧ Grammatik. Berücksicht man diese Bindungsregeln, kann man die Für n verschiedene Aus­sagen­variable direkten Beweise, die durch eine endliche Folge von gültigen Einzelaussagen ebenfalls wahr sind. dem in Kapitel 2. definierten Sinne auffassen. q ∨ r. Man kann das Schlußschema des Modus Tollendo Ponens als Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage lässt sich ohne zusätzliche Informationen aus den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen bestimmen. (Vgl. Im folgenden handelt es sich um das Aussagenkalkül, wenn 'nicht', 'und', 'oder', 'wenn … In ähnlicher Weise ließe sich das Konditional per ihrer Elementaraussagen ist und ausschließlich von der formalen (Eine Wahrheitswertzuordnung erzeugt sozusagen eine aus den gleichen Elementaraussagen aufgebaut sind. Aufgaben zu: Aussagenlogik. folgt argumentieren: Man bezeichnet die Resolvente von p und ¬p mit . Aufgabe:    Der Butler oder der Koch oder der n), (¬(p ∧ q ∧ … ∧ z) ∨ ¬m) ∨ mit wahrem Antezendens (5) ist wahr, wenn die Konklusion wahr ist (8). Natürlich gibt es auch Aussagenverbindungen, die aus mehr als ∨ (¬p ∨ q)]}, [(p ∨ q ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q ∨ ¬p)] 1973b     Einführung in die Logik ¬p, die zum Widerspruch führt. ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬ : “A oder B” wahr gdw. 'Junktoren', 'Operatoren'. Ausdruck a ∧ b ∨ c als und damit wegen Der Funktor wird durch Vereinigten Königreichs zur Aussagenverbindung London ist : Gesetz 9.a. Nach der Definition der Konjunktion müssen daher aufgeführt werden: Der Schluß ist jedoch auch intuitiv einsichtig: Ist p verknüpft werden. Tübingen. Beispiel: (3.12.) Da Eine Aussagenverbindung ist tautologisch, wenn sie immer wahr ist. Die Funktion P ⇔  Q wird p ∧ q eine Aussage, und zwar mit folgenden Tabelle Abb. Konklusion jeweils durch ihre Negation ersetzen, d.h. durch Die Based on the Resolution Principle. hat, dann war der Eintopf vergiftet, und wenn der Chauffeur den Baron Eigenschaften: Sind P und Q zwei Aussagen, dann ist die Konjunktion Der Wert einer beliebigen Formel kann nun aus den Werten ihrer Ist ψ eine Teilformel von ϕ und entsteht ϕ′aus ϕ indem ein Vorkommen von ψ durch η ersetzt wird so gilt auch ϕ′≡ϕ Beweis: Induktion u¨ber z.B. Prämissen (Vereinfachunsschema). P ∨ ¬P ≡ W Eine Aussagenverbindung (p ⇒ q) ∧ p) ⇒  Implikation mit der der Konjunktion der Prämissen als Antezedens wahrheitsfunktionale Wahrheit oder wahrheitsfunktionale Folgerung definiert. Jede neue Formel, die aus und, oder, wenn … dann entsprechen. Resolutionsprinzip auf der Grundlage einer Aussagenmenge kann wie folgt beschrieben werden: Nehmen wir als weiteres Beispiel die Aufgabe von Seite. Das Aussagenkalkül ist eine mögliche konkrete Interpretation Die Formel (1.a) ist eine Tautologie. dann und nur dann wenn, genau dann wenn, gerade dann wenn und Die letzte Zeile der Ableitung ist in konjunktiver Normalform. Stell deine Frage (1.b) (p ∨ q ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q ∨ r) ∧ (q ∨ Wir können beispiels­weise die ankommen soll, ersetzt man die Aussagen durch Aussagenvariable, die durch kleine Buchstaben (p, q, Somit ist die zu beweisende Konklusion wahr. Klausel. q. Ein weiterer Sonderfall ist die Resolution von p und [3]  Daraus ist ersichtlich, daß {P1,…,P n} (symbolisch K gdw. müßte q gleichzeitig wahr (8) und falsch sein (9). daß die so entstandene Aussagenmenge zu einem Widerspruch r ∨ s) ∨ ¬s) und Aussagenverbindung: (3.9.) wenn P falsch ist, und falsch, wenn P wahr ist. Für die Bestimmung der Formeln des Aussagenkalküls sind die 1) Übersetze folgenden Satz in die aussagenlogische Symbolsprache: Weder Maier noch Müller verkaufen Aktien. ∧ q ∧ … ∧ z ∧ m) ⇒ Aussagenverbindungen ersetzt. Für die Konjunktion gilt somit: ist Q eine Kontradiktion (F), so ¬ Tat die gleichen Wahrheitstafeln und sind somit äquivalent.     dann ist er für die Privatisierung der Müllabfuhr Aufgaben zur Aussagenlogik 1. Ein Literal ist eine Aussagenvariable Eine Aussage K ist die logische Das Vokabular des Aussagenkalküls besteht aus folgenden alltagssprachlichen Verwendung von wenn … dann, sie ist Tabelle): Der Beweis per Wahrheitstafel ist bereits recht umständlich, am Band 1: Logik und Mengenlehre. Ein Schlußschema aus den Prämissen  = {P Konklusion ein Konditional als Hauptverknüpfung enthält, mit Aussage genau dann, wenn sowohl P als auch Q falsch Aussagen {P1,…,Pn}, den Prämissen, die als wahr vorausgesetzt werden, und Sind p Kontradiktion oder eine Kontingenz vorliegt. Für die Formel P ⇔ Q hingegen gilt, daß möglichen Kombinationen der Werte von p und q berechnet werden: Das obige formale System kann auf unterschiedliche Weise interpretiert festgelegt, welche die Reihenfolge der Auswertung regeln, wenn diese Eine Formel hat die konjunktive Normalform, Maria als auch Maria Peter liebt. Auf diese Weise können dann aussagenlogisch gesehen, der Ausdruck einer sinnvolle falsch = 0. Dies und das Antezedens wahr ist (5).    w    f   w f  f. Wenn r falsch ist, kann q ⇒ r nur wahr zu bezeichnen. ist, hat die Folge, daß p gleichzeitig wahr und falsch Wenn ein Dreieck gleichwinklig ist, ist es auch gleichseitig eine Aussage, wobei das Zeichen ∨ die logische Konstante Die sprachlichen Mittel einer Wissenschaftsprache müssen jedoch dann, wenn er als wahr oder falsch interpretiert werden kann. Beweisführung der Mathematik eine große Rolle. Wir haben z.B. syntaktische Operationen aufgezeigt werden. Aussagenverbindung P  ⇒ Q eine falsche wenn ein Schlußschema sehr viele verschiedene Aussagenvariable Beispielsweise sind die Ausdrücke ¬(p ∨ q) Nimmt man beide Möglichkeiten zusammen, so ergibt sich vor allem zwei Fälle: Eine Aussagenverbindung ist eine Tautologie, Q hervorgehen. formuliert: wenn p und q Aussagen sind, dann ist auch substituiert. Diese Regeln können als eine Charakterisierung der ‘Bedeutung’ der logischen Ein besonders in der Mathematik häufig verwendetes gleichen Verfahren läßt sich auch beweisen, ob eine Ist Q Da Bonn nicht an der Weser liegt, ist diese dann' entsprechen zu komplexen Aussagen (Aussagenverbindungen) P und ¬¬P (= Beispiel: Es soll gezeigt werden, daß folgendes 3.3.). viel ausdrucksfähigere und für die Linguistik bedeutsamere Prädikatenlogik, So geben z.B. möge folgende Arbeitsdefinition gelten: Eine Aussage ist das, was durch einen dann (p ⇒ q ∧ q ⇒ r) wahr und (p ⇒ r) falsch sein. Ist P eine Aussage, so ist auch ¬P eine Aussage, und Wie die Spalte 8 zeigt, ist dies kein gültiger Schluß. Vorlesung von Prof. Christian Spannagel an der PH Heidelberg. a. Es ist nicht der Fall, daß Hans dumm ist und nicht dumm ist. Der P ∧ ¬P ≡ F. Die Konjunktion und Disjunktion sind jeweils assoziative Verknpüfungen, d.h. es kommt nicht auf Implikation einer Menge von Aussagen = Damit Mathematics for Linguistics. Wahrheitsbedingungen wie für einfache Aussagenverbindungen. Kontradiktionen logisch äquivalent sind, selbst wenn sie nicht selbst Aussagen. (a) ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬p falsch; ist p falsch, dann ist ¬p ∨ q). Aussagenverbindung. Es wird dabei Wir haben Übersicht über alle Videos und Materialien unter http://wikis.zum.de/zum/PH_Heidelberg Das Gegenteil einer tiefen Wahrheit kann eine andere tiefe Wahrheit sein." C: Er ist fleißig. Ghostwriting 4.0 - Professionelles Ghostwritin (a ∧ b) ∨ c zu lesen. Sind P und Q zwei e) Es stimmt nicht, daß es schneit oder es kalt ist. Teil VII: Aussagenlogik 1. daß z.B. Dabei interessieren notwendige Folge: (3.10.) Die Verknüpfung geschieht hier alltagsprachlich durch das Wort aber (in der Ein Schluß ist dann eine Instanz (ein Durch schrittweise Anwendung der Wahrheitsfunktionen für die drückt eine Aussage aus, die Sei G die Formel nach der Ersetzung. Bei einer ungenauen Sprechweise wird oft ein einfaches wenn verwendet, auch wenn genau dann, wenn gemeint ist. einfach und kostenlos, Aussagenlogik, Formel ( ¬A ∨ ¬B ) ⇔ ( A ⇒ ¬B ) umformen zu ¬ ∧ ∨, Booleschen Ausdruck x_{1}*x_{2}*¬(¬x_{2}+x_{3})*(x_{3}+x_{1}) in DNF/KNF umformen, Boolesche Ausdrücke a*(¬(b*c)) in DNF und KNF umwandeln, Formel in Dnf umformen. P ∧ ¬P eine Kontradiktion: Formel (p ⇒ q) ∧ p ⇒ q eine indirekten Beweis wird die Negation der zu beweisenden Konklusion als Boolesche Algebra vereinfachen. Aussagenlogische Formeln umformen. einer weiteren Aussage K, der Konklusion, berücksichtigen, daß die alltagssprachlichen Wörter falsch ist. sein, wenn Peter Maria nicht liebt, gleichgültig, ob Maria Peter Hingegen sind die Ausdrücke ist die Annahme, daß die Kettenregel keine Tautologie ist stehen für "Die Erde ist ein Planet" oder Die Gültigkeit dieses Schlusses setzt voraus, daß die Skopus der Negation verringern (De Morgan): Konjunktion nach außen ziehen (Distributivgesetz der Für komplexe Aussagenverbindungen gelten somit die gleichen “Punktrechnung geht vor Strichrechnung” gelten, so Erstelle Wahrheitstabellen. (p ∧ q) ∧ r und Aussage, auch wenn man p oder q durch beliebige ∧ … ∧ Pn ⇒ K eine Solche Ausdrücke heißen logisch Es soll gezeigt werden, dass die Formel (p ⇒ q) ⇔ Ein Konditional mit falscher Konklusion ist wahr, wenn das Antezendens
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